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ENEM 2009 · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração do ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Figura da questão

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(considere 33=0,58\frac{\sqrt{3}}{3}=0,58)

  1. A50%.
  2. B43%.
  3. C37%.
  4. D33%.
  5. E19%.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: A divisão igual do setor de ouro fixa ângulos iguais, mas a área de João é um triângulo da propriedade inteira.

Resolução. A figura mostra o quarto de círculo dividido em três setores de 30 graus. A divisa de João parte do canto inferior esquerdo e forma 60 graus com a horizontal, até alcançar a borda superior do terreno, a 2 km de altura. Se xx é a distância horizontal até esse encontro, tan⁡60∘=2/x=3\tan60^\circ=2/x=\sqrt3, então x=2/3=23/3≈2⋅0,58=1,16x=2/\sqrt3=2\sqrt3/3\approx2\cdot0{,}58=1{,}16 km. João fica com um triângulo de base 1,16 km e altura 2 km, cuja área é 1,16⋅2/2=1,161{,}16\cdot2/2=1{,}16 km². O terreno inteiro mede 3⋅2=63\cdot2=6 km². Logo, 1,16/6≈0,1931{,}16/6\approx0{,}193, ou cerca de 19%.

Visualize: Retângulo 3 por 2 quilômetros com setor de raio 1 dividido em ângulos de 30 graus. A parcela de João é o triângulo à esquerda da semirreta a 60 graus, com base superior de 2 sobre raiz de 3 quilômetros.

Construção auxiliar de enem-2009-q164

Onde a galera erra: A opção D (33%) confunde a terça parte do setor de extração com a terça parte da propriedade total.

Leve para a prova: Ao repartir uma região por setores, use os ângulos para encontrar as divisas, mas calcule a porcentagem sobre a área pedida.

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