ENEM 2009 · Questão 174

Matemática e suas Tecnologias · Arco, setor e ângulo inscrito: que fração do círculo?

Considere um ponto $P$ em uma circunferência de raio $r$ no plano cartesiano. Seja $Q$ a projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$ , como mostra a figura, e suponha que o ponto $P$ percorra, no sentido anti-horário, uma distância $d \leq r$ sobre a circunferência.

Então, o ponto $Q$ percorrerá, no eixo $x$ , uma distância dada por

A $r\left(1-\operatorname{sen}\frac{d}{r}\right)$ .
B $r\left(1-\cos\frac{d}{r}\right)$ .
C $r\left(1-\operatorname{tg}\frac{d}{r}\right)$ .
D $r\operatorname{sen}\left(\frac{r}{d}\right)$ .
E $r\cos\left(\frac{r}{d}\right)$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $r\left(1-\cos\frac{d}{r}\right)$ .

A ideia: Transforme a distância de arco em ângulo central.

Resolução. O ponto começa na posição extrema direita da circunferência, a uma distância horizontal $r$ do eixo vertical central. Após percorrer arco $d$ , gira $\theta=d/r$ radianos. A projeção horizontal passa de $r$ para $r\cos(d/r)$ . O deslocamento de $Q$ é $r-r\cos(d/r)=r(1-\cos(d/r))$ .

Visualize: Marque o ângulo central $\theta=d/r$ após percorrer o arco $d$ . A projeção horizontal muda de $r$ para $r\cos\theta$ , dando deslocamento $r(1-\cos\theta)$ .

Construção auxiliar de enem-2009-q174

Onde a galera erra: Tratar $d$ como ângulo em vez de comprimento de arco.

Leve para a prova: Use $\theta=d/r$ antes de projetar um ponto em movimento circular.

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