ENEM 2009 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Relacione grandezas

O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), $TC=\frac{NV}{NF}$ , $TA=\frac{NA}{NV}$ , em que $NV$ é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, $NF$ é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e $NA$ é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.

Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).

Suponha que o ICadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando $NF$ o ICadÚnico cairá para 0,5. Se $NA+NV=3.600$ , então $NF$ é igual a

A10.000.
B7.500.
C5.000.
D4.500.
E3.000.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: O índice é a média de duas taxas. Ao dobrar apenas $NF$ , a taxa $TC$ cai pela metade, enquanto $TA$ não muda.

Resolução. Escreva $x=TC=NV/NF$ e $y=TA=NA/NV$ . A primeira condição dá $(x+y)/2=0{,}6$ , ou $x+y=1{,}2$ . Ao dobrar $NF$ , a primeira taxa vira $x/2$ : $(x/2+y)/2=0{,}5$ , ou $x/2+y=1$ . Subtraindo, $x/2=0{,}2$ , então $x=0{,}4$ e $y=0{,}8$ . Portanto $NA=0{,}8NV$ . Como $NA+NV=3\,600$ , temos $1{,}8NV=3\,600$ , logo $NV=2\,000$ . Por fim, $NV/NF=0{,}4$ dá $NF=2\,000/0{,}4=5\,000$ . Isso corresponde à alternativa C.

Onde a galera erra: A alternativa B (7 500) não satisfaz simultaneamente as taxas 0,6 e 0,5 com $NA+NV=3\,600$ .

Leve para a prova: Para médias envolvendo razões, substitua cada razão por uma letra e resolva o sistema antes de voltar às quantidades.

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