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ENEM 2010 · Questão 147

Matemática e suas Tecnologias · Etapas em sequência: multiplique (ou use o complementar)

Dificuldade TRI: b = 2,54 (difícil)

A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Figura da questão
Figura da questão

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível.

O melhor trajeto para Paula é

  1. AE1E3.
  2. BE1E4.
  3. CE2E4.
  4. DE2E5.
  5. EE2E6.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: Queremos evitar engarrafamento nas duas estradas. É mais simples multiplicar as probabilidades de trânsito livre.

Resolução. Na figura II, o caminho por C começa em E1, com risco 0,8; por D começa em E2, com risco 0,7. Em D, a via E5 tem risco 0,4 e a E6 tem 0,6. Para E2E5, a chance de nenhuma via ter engarrafamento é (1−0,7)(1−0,4)=0,3⋅0,6=0,18(1-0{,}7)(1-0{,}4)=0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18. Assim, o risco de algum engarrafamento é 1−0,18=0,821-0{,}18=0{,}82. E2E6 tem risco 1−0,3⋅0,4=0,881-0{,}3\cdot0{,}4=0{,}88; E1E4 tem 1−0,2⋅0,7=0,861-0{,}2\cdot0{,}7=0{,}86; E1E3 tem 0,900{,}90. O menor risco é E2E5.

Visualize: Redução do grafo original: A liga a C por E1 e a D por E2; C liga a B por E3 ou E4, D a B por E5 ou E6. Os rótulos indicam as probabilidades complementares de trânsito livre; E2E5 maximiza o produto0,3 vezes0,6. As duas opções em cada segundo trecho foram agrupadas no rótulo.

Construção auxiliar de enem-2010-q147

Onde a galera erra: A alternativa B (E1E4) parece atraente porque E4 tem apenas 30% de risco, mas E1 tem 80%.

Leve para a prova: Para minimizar a chance de pelo menos uma falha independente, maximize a chance de todas as etapas darem certo.

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