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ENEM 2010 · Questão 152

Matemática e suas Tecnologias · Valor Máximo ou Mínimo de uma Função Trigonométrica

Um satélite de telecomunicações, tt minutos após ter atingido sua órbita, está a rr quilômetros de distância do centro da Terra. Quando rr assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de rr em função de tt seja dado por

r(t)=5 8651+0,15×cos⁡(0,06t)r(t) = \frac{5\ 865}{1 + 0,15 \times \cos(0,06t)}

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de rr, no apogeu e no perigeu, representada por SS.

O cientista deveria concluir que, periodicamente, SS atinge o valor de

  1. A12 765 km.
  2. B12 000 km.
  3. C11 730 km.
  4. D10 965 km.
  5. E5 865 km.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: a maior distância ocorre com o menor denominador; a menor distância, com o maior.

Resolução. Como o cosseno varia de −1 a 1, o denominador 1+0,15cos⁡(0,06t)1+0{,}15\cos(0{,}06t) varia de 0,85 a 1,15.

No apogeu, rmax=5 865/0,85=6 900r_{\text{max}}=5\,865/0{,}85=6\,900 km. No perigeu, rmin=5 865/1,15=5 100r_{\text{min}}=5\,865/1{,}15=5\,100 km. A soma é 6 900+5 100=12 0006\,900+5\,100=12\,000 km. O coeficiente do tempo define quando os extremos ocorrem, mas não altera esses valores.

Onde a galera erra: 11 730 (C) é duas vezes 5 865, como se esse número fosse a média aritmética dos extremos. Ele aparece no numerador e não desempenha esse papel.

Leve para a prova: em uma razão periódica com numerador fixo, determine primeiro o intervalo do denominador e depois inverta a ordem dos extremos.

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