ENEM 2010 · Questão 161

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 1,63 (média)

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

Aà mesma área do triângulo AMC.
Bà mesma área do triângulo BNC.
Cà metade da área formada pelo triângulo ABC.
Dao dobro da área do triângulo MNC.
Eao triplo da área do triângulo MNC.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: pontos médios dividem os lados ao meio e permitem comparar áreas sem conhecer medidas numéricas.

Resolução. Na figura, $P$ é ponto médio de $AB$ , $N$ é ponto médio de $AC$ e $M$ é ponto médio de $BC$ . O segmento $MN$ é paralelo a $AB$ e mede metade de $AB$ ; o triângulo $MNC$ é semelhante ao triângulo $ABC$ , com razão linear $1/2$ .

Por isso, sua área corresponde a $(1/2)^2=1/4$ da área de $ABC$ .

A região $ABMN$ é o triângulo $ABC$ sem o triângulo $MNC$ . Sua área corresponde a $1-1/4=3/4$ da área total, isto é, três vezes a área de $MNC$ .

Visualize: Triângulo retângulo ABC com P,M,N nos pontos médios. MNC tem um quarto da área total e a região ABMN ocupa os outros três quartos, ou três vezes a área de MNC. Coordenadas ilustrativas, sem atribuir medidas à questão.

Construção auxiliar de enem-2010-q161

Onde a galera erra: marcar C por achar que reduzir cada lado à metade também reduz a área apenas à metade.

Leve para a prova: em figuras semelhantes, a razão das áreas é o quadrado da razão dos lados.

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