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ENEM 2010 · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Inscrição/Circunscrição

Dificuldade TRI: b = 2,53 (difícil)

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

Figura da questão

O raio da perfuração da peça é igual a

  1. A1 cm.
  2. B2 cm.
  3. C3 cm.
  4. D4 cm.
  5. E5 cm.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: A seção da perfuração é a circunferência inscrita na base triangular do prisma.

Resolução. A base é um triângulo retângulo de lados 66, 88 e 1010 cm. Sua área é 6⋅8/2=246\cdot8/2=24 cm² e seu semiperímetro é (6+8+10)/2=12(6+8+10)/2=12 cm. Como a área também é r⋅sr\cdot s, o raio da circunferência inscrita é r=24/12=2r=24/12=2 cm.

Visualize: Na base triangular de catetos 6 cm e 8 cm, desenhe o círculo tangente aos três lados. O raio desse círculo é perpendicular aos lados nos pontos de tangência; sua área se relaciona ao semiperímetro por A=rsA=rs.

Construção auxiliar de enem-2010-q164

Onde a galera erra: Tomar metade do menor cateto como raio, sem considerar a tangência à hipotenusa.

Leve para a prova: Para o raio inscrito em um triângulo, use A=rsA=rs.

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