A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso ENEM

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ENEM 2010 · Questão 165

Matemática e suas Tecnologias · Cobrança ou gráfico por faixas: some trecho a trecho

Dificuldade TRI: b = 3,62 (difícil)

Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

T(t)={75t+20,para 0≤t<1002125t2−165t+320,para t≥100T(t)=\begin{cases}\frac{7}{5}t+20, \text{para }0\leq t<100\\\frac{2}{125}t^2-\frac{16}{5}t+320, \text{para }t\geq 100\end{cases}

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

  1. A100.
  2. B108.
  3. C128.
  4. D130.
  5. E150.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: encontre separadamente o instante de entrada e o de saída, escolhendo o ramo da função adequado a cada temperatura.

Resolução. Antes de 100 minutos, T=75t+20T=\dfrac75t+20. Para 48 °C, 75t=28\dfrac75t=28, portanto a peça entra em t=20t=20 minutos.

Para 200 °C, usamos o segundo ramo: 2125t2−165t+320=200\dfrac2{125}t^2-\dfrac{16}5t+320=200. Simplificando, t2−200t+7 500=0t^2-200t+7\,500=0, isto é, (t−50)(t−150)=0(t-50)(t-150)=0.

Como esse ramo só vale para t≥100t\ge100, a saída ocorre em 150 minutos, não em 50. A permanência é 150−20=130150-20=130 minutos.

Visualize:

Função por partes do forno, linear até100min e quadrática depois. Entrada em20min a48graus; retirada em150min a200graus.

Onde a galera erra: 150 (E) é o instante da retirada, não a duração no forno. A raiz 50 não pertence ao domínio do segundo ramo.

Leve para a prova: em funções por partes, toda raiz precisa ser conferida no intervalo em que a expressão vale.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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