ENEM 2010 · Questão 168

Matemática e suas Tecnologias · Relacionando volumes de diferentes sólidos

Dificuldade TRI: b = 3,29 (difícil)

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere:

$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi R^3$ e $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi R^2h$

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

A1,33.
B6,00.
C12,00.
D56,52.
E113,04.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: Iguale o volume do hemisfério cheio ao volume de líquido no cone, usando o raio comum de 3 cm.

Resolução. O hemisfério tem metade do volume da esfera: $\dfrac23\pi\cdot3^3=18\pi$ cm cúbicos. O cone com raio 3 cm e altura de líquido $h$ comporta $\dfrac13\pi\cdot3^2h=3\pi h$ . Igualando, $3\pi h=18\pi$ , então $h=6$ cm. Não é necessário aproximar $\pi$ .

Visualize: Compare a taça hemisférica de raio 3 cm com o cone de mesmo raio. O esquema ressalta que só a altura $h$ do líquido no cone é desconhecida.

Construção auxiliar de enem-2010-q168

Onde a galera erra: Marcar C (12 cm) costuma vir de usar o volume da esfera inteira, em vez de metade.

Leve para a prova: Quando as fórmulas contêm $\pi$ e o raio é igual, simplifique antes de calcular.

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