ENEM 2010 · PPL · Questão 173

Matemática e suas Tecnologias · Comparar volumes de diferentes cilindros

Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.

Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

AR$ 0,20, pois haverá uma redução de $\frac{2}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
BR$ 0,40, pois haverá uma redução de $\frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
CR$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.
DR$ 0,80, pois haverá um aumento de $\frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
ER$ 1,00, pois haverá um aumento de $\frac{2}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) R$ 0,40, pois haverá uma redução de $\frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

A ideia: A capacidade permanece constante, mas o rótulo cobre a área lateral. Encontre as novas dimensões.

Resolução. O cilindro antigo tem raio $2$ cm e altura $13{,}5$ cm: volume $\pi\cdot2^2\cdot13{,}5=54\pi$ . No novo, o diâmetro é igual à altura: se o raio é $r$ , a altura é $2r$ . Assim, $2\pi r^3=54\pi$ , ou $r^3=27$ ; logo $r=3$ cm e altura $6$ cm. A área lateral antiga é $2\pi\cdot2\cdot13{,}5=54\pi$ ; a nova é $2\pi\cdot3\cdot6=36\pi$ , dois terços da anterior. O rótulo custa $0{,}60\cdot2/3=0{,}40$ real.

Visualize: Coloque lado a lado o cilindro original, mais alto e estreito, e o novo, mais baixo e largo. Os dois comportam $54\pi$ cm³, mas os rótulos cobrem áreas laterais diferentes.

Construção auxiliar de enem-2010ppl-q173

Onde a galera erra: Marcar C (R$ 0,60) confunde volume igual com área lateral igual.

Leve para a prova: Mesmo volume não implica mesma área: rótulos dependem da superfície, não da capacidade.

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