ENEM 2010 · PPL · Questão 177

Matemática e suas Tecnologias · Comparar volumes de diferentes cilindros

Dificuldade TRI: b = 1,5 (fácil)

Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.

Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.

Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco ( $a$ ) com a altura da embalagem tradicional ( $h$ )?

A $a=\frac{h}{12}$
B $a=\frac{h}{6}$
C $a=\frac{2h}{3}$
D $a=\frac{4h}{3}$
E $a=\frac{4h}{9}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) $a=\frac{4h}{3}$ .

A ideia: O raio aparece ao quadrado no volume do cilindro. Metade do raio reduz a área da base a um quarto.

Resolução. O volume original é $\pi r^2h$ . O novo é $\pi\left(\dfrac r2\right)^2a=\dfrac{\pi r^2a}{4}$ . A nova capacidade deve ser um terço da antiga: $\dfrac{\pi r^2a}{4}=\dfrac{\pi r^2h}{3}$ . Cancelando $\pi r^2$ , fica $\dfrac a4=\dfrac h3$ , logo $a=\dfrac{4h}{3}$ . A altura aumenta mesmo com a embalagem menor, pois a base encolheu bastante.

Visualize: Destaque os círculos das bases. Ao reduzir o raio de $r$ para $r/2$ , a área da base fica quatro vezes menor; por isso a nova altura $a$ precisa compensar essa redução.

Construção auxiliar de enem-2010ppl-q177

Onde a galera erra: A alternativa C reduz também a altura, sem compensar a redução quadrática do raio.

Leve para a prova: Ao mudar o raio de um cilindro, eleve o fator de escala ao quadrado.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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