A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso ENEM

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ENEM 2011 · Questão 137

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 2,03 (média)

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MwM_w), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MwM_w e M0M_0 se relacionam pela fórmula:

Mw=−10,7+23log⁡10(M0)M_w = -10,7 + \frac{2}{3}\log_{10}(M_0)

Onde M0M_0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅\cdotcm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw=7,3M_w = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0M_0 do terremoto de Kobe (em dina⋅\cdotcm)?

  1. A10−5,1010^{-5,10}
  2. B10−0,7310^{-0,73}
  3. C1012,0010^{12,00}
  4. D1021,6510^{21,65}
  5. E1027,0010^{27,00}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 1027,0010^{27{,}00}.

A ideia: isole o logaritmo e depois transforme a igualdade logarítmica em potência de base 10.

Resolução. A fórmula é Mw=−10,7+23log⁡10(M0)M_w=-10{,}7+\frac23\log_{10}(M_0). Substituindo a magnitude Mw=7,3M_w=7{,}3, temos 7,3=−10,7+23log⁡10(M0)7{,}3=-10{,}7+\frac23\log_{10}(M_0). Somando 10,710{,}7 aos dois lados: 18=23log⁡10(M0)18=\frac23\log_{10}(M_0). Multiplicando por 32\frac32, obtemos log⁡10(M0)=27\log_{10}(M_0)=27. Pela definição de logaritmo, M0=1027M_0=10^{27} dina⋅\cdotcm.

Onde a galera erra: a alternativa D pode surgir ao manipular incorretamente o fator 23\frac23 ou a constante −10,7-10{,}7.

Leve para a prova: log⁡10(x)=a\log_{10}(x)=a equivale a x=10ax=10^a; primeiro isole completamente o logaritmo.

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