ENEM 2011 · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Ângulo e distância: trigonometria no triângulo retângulo

Dificuldade TRI: b = 2,9 (difícil)

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual $\alpha$ fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual $2\alpha$ . A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo $\alpha = 30^\circ$ e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

A1 000 m.
B $1\ 000\sqrt{3}$ m.
C $\frac{2\ 000\sqrt{3}}{3}$ m.
D2 000 m.
E $2\ 000\sqrt{3}$ m.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $1\ 000\sqrt{3}$ m..

A ideia: Use a soma dos ângulos do triângulo $ABP$ e a altura relativa à trajetória.

Resolução. O ângulo em $A$ é $30^\circ$ ; o ângulo interno em $B$ é $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ , logo em $P$ é $30^\circ$ . Portanto $BP=AB=2000$ m. A menor distância de $P$ à trajetória é a perpendicular $BP\sin60^\circ=2000(\sqrt3/2)=1000\sqrt3$ m.

Visualize: No triângulo $ABP$ , identifique os ângulos de 30° em $A$ e $P$ , que tornam $AB=BP$ . Em seguida, trace de $P$ a perpendicular à trajetória: essa altura, não $BP$ , é a distância mínima.

Construção auxiliar de enem-2011-q155

Onde a galera erra: Confundir a distância direta $BP=2000$ m com a distância mínima à reta.

Leve para a prova: A menor distância de um ponto a uma trajetória retilínea é perpendicular.

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