ENEM 2011 · PPL · Questão 178

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,25 (média)

Um caminhão precisa recolher o lixo das ruas de um certo bairro. Por questões econômicas e ambientais, a empresa IMJ, responsável pela coleta, planeja as rotas de recolhimento, de modo que o caminhão percorra a menor distância possível, passando em cada rua exatamente uma vez, entrando e saindo de cada ponto. Quando isso não é possível, busca-se repetir o menor número possível de ruas na rota. Na figura, temos um esquema no qual os pontos representam esquinas, e as linhas representam as ruas.

Considere que cada rua mede 150 m de comprimento e que a rota do caminhão comece e termine no ponto A, passando por todas as ruas do esquema.

A empresa conseguiu encontrar a melhor rota de recolhimento de lixo, na qual o caminhão percorre uma distância igual a

A2 400 m.
B2 550 m.
C2 700 m.
D2 850 m.
E3 300 m.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: percorra cada rua uma vez, sempre que possível. Para voltar ao ponto A, somente as esquinas com número ímpar de ruas exigem um trecho repetido.

Resolução. Contando as ligações da figura, há 17 ruas. Sem nenhuma repetição, o percurso teria $17\cdot150=2\,550$ metros.

Mas a rota deve ser fechada: o caminhão começa e termina em A. Numa rota fechada, cada vez que o caminhão entra numa esquina precisa sair por outra rua; por isso, o total de passagens por cada vértice deve ser par.

No desenho, apenas duas esquinas têm número ímpar de ruas incidentes: a esquina central, ligada a sete ruas, e a esquina logo abaixo, ligada a cinco. Elas estão conectadas diretamente por uma rua.

Basta repetir essa ligação uma vez. O percurso mínimo passa por 18 trechos de 150 m: $18\cdot150=2\,700$ metros.

Visualize: Grafo com as 17 ligações do original; a rua CM une os únicos vértices de grau ímpar e precisa ser repetida. Esquema sem escala, cada rua mede 150 m.

Construção auxiliar de enem-2011ppl-q178

Onde a galera erra: marcar B (2 550 m) contando as ruas, mas ignorando que não é possível percorrer cada uma exatamente uma vez e voltar a A.

Leve para a prova: para fazer um circuito por todas as arestas sem repetições, cada vértice precisa ter grau par.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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