ENEM 2012 · PPL · Questão 159

Matemática e suas Tecnologias · Comparar volumes de diferentes cilindros

Dificuldade TRI: b = 2,8 (difícil)

Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 $\text{cm}^2$ . A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime $\pi$ para 3.)

O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois

Ao custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.
Bo custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
Co custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40.
Da capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior.
Ecapacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: A capacidade cresce bastante, mas a área do material também; é o custo que reprova o orçamento.

Resolução. A lixeira original tem raio 10 cm e altura 50 cm. A nova tem raio 30 cm e altura 60 cm. A razão entre capacidades é $\dfrac{30^2\cdot60}{10^2\cdot50}=10{,}8$ , maior que dez. Como não há tampa, a área de material é a lateral mais uma base: $A=2\pi rh+\pi r^2=2\cdot3\cdot30\cdot60+3\cdot30^2=13\,500$ centímetros quadrados. Cada 100 centímetros quadrados custam R$ 0,20, então $135\cdot0{,}20=27$ reais.

Visualize: Na lixeira sem tampa, destaque a parede cilíndrica e apenas o fundo circular. O contorno superior permanece aberto: a área de material é $2\pi rh+\pi r^2$ , sem segunda base.

Construção auxiliar de enem-2012ppl-q159

Onde a galera erra: A alternativa D ignora o aumento quadrático provocado pelo raio triplicado.

Leve para a prova: Em recipientes sem tampa, conte apenas a base inferior e a superfície lateral.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago