ENEM 2012 · PPL · Questão 165

Matemática e suas Tecnologias · Relacionando volumes de diferentes sólidos

Dificuldade TRI: b = 2,9 (difícil)

Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;

• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.

Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

$V_{\text{tronco de cone}} = \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que $y^2$ seja, no mínimo, igual a

A2,664 cm.
B7,412 cm.
C12,160 cm.
D14,824 cm.
E19,840 cm.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: A caneca deve comportar o copo maior; use a fórmula do tronco e compare com o cilindro.

Resolução. O copo grande tem raios 3,6 cm e 2,4 cm e altura 8 cm. Seu volume é $\dfrac{8\pi}{3}(3{,}6^2+2{,}4^2+3{,}6\cdot2{,}4)$ . Dentro dos parênteses: $12{,}96+5{,}76+8{,}64=27{,}36$ . Assim, $V=72{,}96\pi$ . A caneca cilíndrica tem volume $6\pi y^2$ . Para comportar tudo, $6\pi y^2\ge72{,}96\pi$ , portanto $y^2\ge12{,}16$ .

Visualize: Coloque lado a lado o copo em tronco de cone, com raios 3,6 e 2,4 cm e altura 8 cm, e a caneca cilíndrica de altura 6 cm e raio $y$ . A caneca precisa ter volume ao menos igual ao do copo maior.

Construção auxiliar de enem-2012ppl-q165

Onde a galera erra: A alternativa B surge de usar apenas parte dos termos da fórmula do tronco.

Leve para a prova: Quando um recipiente substitui outros, dimensione-o pelo maior volume necessário.

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