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ENEM 2012 · PPL · Questão 171

Matemática e suas Tecnologias · Dada uma situação-problema, determine a função exponencial

Dificuldade TRI: b = 1,32 (fácil)

Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:

• Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).

• Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).

• Passo 3: Repete-se o passo 2.

Figura da questão
Figura da questão
Figura da questão

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.

O número de quadrados pretos restantes nesse momento é

  1. A64.
  2. B512.
  3. C568.
  4. D576.
  5. E648.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: cada quadradinho preto gera oito novos quadradinhos pretos na etapa seguinte, porque o nono, central, é removido.

Resolução. Na primeira execução, o quadrado original é dividido em nove partes e a central é retirada, restando 88 quadrados pretos (Figura 2). Na segunda, cada um desses oito produz mais oito: 8⋅8=82=648\cdot8=8^2=64 quadradinhos (Figura 3). O enunciado pede executar o processo mais uma vez sobre cada um dos 64 quadrados da Figura 3. Assim, a quantidade final é 64⋅8=83=51264\cdot8=8^3=512. Embora a escala dos novos quadradinhos diminua, o número deles aumenta por um fator 8 em cada iteração.

Visualize: Três iterações calculadas do carpete de Sierpinski, com oito, sessenta e quatro e quinhentos e doze quadradinhos pretos. O terceiro painel está ampliado para leitura dos quadradinhos; painéis não usam a mesma escala. O centro é retirado em cada subdivisão.

Construção auxiliar de enem-2012ppl-q171

Onde a galera erra: marcar 64 (A) por parar na Figura 3; a questão pede uma terceira execução do procedimento.

Leve para a prova: identifique quantos elementos permanecem em cada subdivisão e eleve esse fator ao número de iterações.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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