ENEM 2012 · PPL · Questão 172

Matemática e suas Tecnologias · Encaixe figuras em uma região plana

Dificuldade TRI: b = 2,46 (média)

Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.

É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta?

ANão, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas.
BNão, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do compartimento.
CSim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura.
DSim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento.
ESim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: As duas arrumações ocupam o mesmo compartimento. Use as folgas da primeira figura e a ausência de folgas na segunda para montar duas equações.

Resolução. Na figura 1, há cinco caixas de largura $a$ e folgas laterais de 2 cm e 3 cm. Logo, a largura interna é $5a+5$ . Há duas caixas de altura $b$ e folga superior de 2 cm, então a altura interna é $2b+2$ . Na figura 2, três caixas giradas ocupam toda a largura, $3b$ , e quatro caixas ocupam toda a altura, $4a$ . Portanto $5a+5=3b$ e $2b+2=4a$ . Da segunda, $b=2a-1$ . Substituindo: $5a+5=6a-3$ , então $a=8$ cm e $b=15$ cm. As dimensões são $3b=45$ cm de largura e $4a=32$ cm de altura.

Visualize: Duas arrumações no mesmo retângulo 45 por 32 centímetros. Antes: cinco colunas por duas linhas de caixas 8 por 15, com folgas esquerda2, direita3, superior2. Depois: três colunas por quatro linhas de caixas giradas 15 por 8, sem folga.

Construção auxiliar de enem-2012ppl-q172

Onde a galera erra: A alternativa C sugere um compartimento menor, mas não respeita simultaneamente as folgas de 2 cm e 3 cm mostradas na primeira arrumação.

Leve para a prova: Quando duas disposições cabem no mesmo retângulo, iguale largura com largura e altura com altura.

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