ENEM 2013 · Questão 141

Matemática e suas Tecnologias · Círculos Tangentes

Dificuldade TRI: b = 1,68 (média)

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$ .

O valor de R, em centímetros, é igual a

A64,0.
B65,5.
C74,0.
D81,0.
E91,0.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: Os centros dos três canos menores formam um triângulo equilátero.

Resolução. Cada cano tem raio $30$ cm, então a distância entre centros de canos tangentes é $60$ cm. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero dos centros é $60/\sqrt3=20\sqrt3$ . Do centro comum até a borda de um cano menor são mais $30$ cm; a folga acrescenta $10$ cm. Assim, $R=20\sqrt3+30+10\approx20(1,7)+40=74$ cm.

Visualize: Ligue os centros dos três canos menores tangentes para formar um triângulo equilátero de lado 60 cm. Do centro desse triângulo até a parede externa somam-se $20\sqrt3$ , 30 e 10 cm.

Construção auxiliar de enem-2013-q141

Onde a galera erra: Somar somente os raios dos canos e a folga ignora a distância do centro do conjunto ao centro de cada cano.

Leve para a prova: Em três círculos iguais tangentes, conecte os centros para formar um triângulo equilátero.

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