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ENEM 2013 · Questão 165

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 17,62 (difícil)

Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Figura da questão

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

  1. A6
  2. B12
  3. C18
  4. D24
  5. E36
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: pinte os quatro vértices do losango respeitando as arestas e depois identifique as joias que ficam iguais quando o losango é girado meia-volta.

Resolução. Escolha a cor de A: 3 possibilidades. Para B, há 2 cores diferentes. Agora conte C.

Se C tiver a cor de A, D poderá ter qualquer uma das outras 2 cores. Isso dá 3⋅2⋅1⋅2=123\cdot2\cdot1\cdot2=12 colorações com vértices identificados.

Se C tiver a terceira cor, D fica obrigado a ter a cor de B: 3⋅2⋅1⋅1=63\cdot2\cdot1\cdot1=6. No total são 18 colorações rotuladas.

Como o losango não é quadrado, uma meia-volta troca A com C e B com D sem alterar a joia. Das 18 colorações, 6 ficam iguais após essa rotação (A=C e B=D); as outras 12 formam 6 pares. Portanto, há 6+6=126+6=12 joias diferentes.

Visualize: as duas disposições numeradas representam a mesma joia após uma meia-volta. Os vértices opostos trocam de lugar; reflexões não entram nessa equivalência.

Construção auxiliar de enem-2013-q165

Onde a galera erra: escolher C (18) ao considerar diferentes joias que são apenas a mesma peça girada.

Leve para a prova: ao contar objetos físicos, verifique se rotações transformam uma disposição em outra equivalente.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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