ENEM 2013 · Questão 166

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 2,19 (média)

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão $M(t) = A \cdot (2,7)^{kt}$ , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para $\log_{10} 2$ . Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

A27
B36
C50
D54
E100

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: use a meia-vida para obter uma relação entre o expoente e a fração restante, sem precisar determinar a constante $k$ numericamente.

Resolução. Após 30 anos, a massa é metade da inicial: $\frac12=(2{,}7)^{30k}$ . Para chegar a 10% da massa inicial, precisamos de $0{,}1=(2{,}7)^{kt}$ . Aplicando logaritmos nas duas equações e dividindo a segunda pela primeira, $\frac{t}{30}=\frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}5)}$ . Como $\log(0{,}1)=-1$ e $\log(0{,}5)=-\log2\approx-0{,}3$ , segue que $t/30\approx1/0{,}3=10/3$ . Portanto, $t\approx100$ anos.

Onde a galera erra: a alternativa C, 50, trata a redução de massa como linear; a meia-vida caracteriza decaimento exponencial.

Leve para a prova: para um decaimento com meia-vida $T$ , a fração restante é $(1/2)^{t/T}$ .

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago