ENEM 2013 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Ponto equidistante no plano: é a mediatriz (ou o circuncentro)

Dificuldade TRI: b = 0,94 (fácil)

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

A(65 ; 35).
B(53 ; 30).
C(45 ; 35).
D(50 ; 20).
E(50 ; 30).

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: O ponto equidistante de três antenas é o circuncentro do triângulo.

Resolução. Pelo gráfico, $A=(30,20)$ , $B=(70,20)$ e $C=(60,50)$ . A mediatriz de $AB$ é $x=50$ . Se o ponto procurado é $(50,y)$ , igualamos os quadrados das distâncias a $A$ e $C$ : $20^2+(y-20)^2=10^2+(y-50)^2$ . Daí $400-40y+400=100-100y+2500$ , ou $60y=1800$ , logo $y=30$ . A torre fica em $(50,30)$ .

Visualize: Trace a mediatriz de AB, passando pelo ponto médio de A=(30,20) e B=(70,20). Ela é a vertical $x=50$ ; seu cruzamento com a mediatriz de outro lado fornece a torre em $(50,30)$ .

Construção auxiliar de enem-2013-q175

Onde a galera erra: Escolher o centro visual do desenho sem igualar distâncias pode indicar um ponto incorreto.

Leve para a prova: Mediatrizes permitem localizar pontos equidistantes sem calcular raízes.

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