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ENEM 2013 · PPL · Questão 146

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 1,75 (média)

A logomarca de uma empresa de computação é um quadrado, AEFGAEFG, com partes pintadas como mostra a figura. Sabe-se que todos os ângulos agudos presentes na figura medem 45∘45^\circ e que AB=BC=CD=DEAB=BC=CD=DE. A fim de divulgar a marca entre os empregados, a gerência decidiu que fossem pintadas logomarcas de diversos tamanhos nas portas, paredes e fachada da empresa. Pintadas as partes cinza de todas as logomarcas, sem desperdício e sem sobras, já foram gastos R$ 320,00.

Figura da questão

O preço das tintas cinza, preta e branca é o mesmo. Considerando que não haja desperdício e sobras, o custo para pintar as partes pretas e o custo para pintar as partes brancas serão, respectivamente,

  1. AR$ 320,00 e R$ 640,00.
  2. BR$ 640,00 e R$ 960,00.
  3. CR$ 960,00 e R$ 1 280,00.
  4. DR$ 1 280,00 e R$ 2 240,00.
  5. ER$ 2 240,00 e R$ 2 560,00.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: como as tintas custam o mesmo, compare as áreas das três cores.

Resolução. Tome o lado do quadrado externo como quatro unidades, conforme as quatro partes iguais AB=BC=CD=DEAB=BC=CD=DE na lateral da figura. Sua área é 42=164^2=16 unidades quadradas.

O losango branco liga os pontos médios dos lados do quadrado; suas diagonais medem 4 e 4. A área branca é 4⋅4/2=84\cdot4/2=8.

Nos quatro cantos, cada triângulo cinza tem catetos de uma unidade, pois os segmentos inclinados fazem 45° e partem a uma unidade dos vértices. Cada área é 1⋅1/2=0,51\cdot1/2=0{,}5. Os quatro cantos somam 2.

Sobra para o preto 16−8−2=616-8-2=6. Assim, as áreas cinza, preta e branca estão na razão 2:6:8=1:3:42:6:8=1:3:4.

Se o cinza custou R$ 320,00, o preto custa 3⋅320=9603\cdot320=960 reais e o branco 4⋅320=1 2804\cdot320=1\,280 reais.

Visualize: Logomarca reproduzida em proporção: quadrado de lado4 unidades; losango branco de diagonais4; quatro cantos cinza, cada qual triângulo de catetos1. Áreas cinza2, preta6 e branca8.

Construção auxiliar de enem-2013ppl-q146

Onde a galera erra: marcar B por comparar apenas quantidades de regiões, sem calcular suas áreas.

Leve para a prova: se o preço por área é igual, a razão dos custos é a razão das áreas pintadas.

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