ENEM 2013 · PPL · Questão 166

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Dificuldade TRI: b = 2,25 (média)

Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:

Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.

João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: O número de prêmios depende das interseções entre os quatro círculos e do quadrado central que concede o prêmio extra.

Resolução. Cada círculo dá um prêmio e o quadrado ABCD acrescenta outro. No alvo, o quadrado inteiro está contido na interseção dos quatro círculos: qualquer ponto dentro dele recebe cinco prêmios. Para receber exatamente quatro, o dardo precisa cair na parte comum aos quatro círculos que fica fora do quadrado. São quatro pequenas regiões curvas, entre os lados do quadrado e os arcos que o cercam. Sua área total é a menor entre as regiões correspondentes às quantidades de prêmios apresentadas. Como o lançamento é aleatório, a menor área corresponde à menor probabilidade. Portanto, é menos provável ganhar exatamente quatro prêmios, alternativa D. Não basta contar condições: cinco prêmios ocupam o quadrado central, uma área maior que a soma das quatro tiras curvas.

Visualize: Esquema da disposição simétrica do alvo, sem atribuir medidas ao original. Todo o quadrado está dentro dos quatro círculos e dá cinco prêmios. As pequenas tiras curvas dentro dos quatro círculos e fora do quadrado dão quatro prêmios.

Construção auxiliar de enem-2013ppl-q166

Onde a galera erra: Escolher cinco prêmios apenas por exigir mais condições. No desenho, todo o quadrado central satisfaz essas cinco condições, enquanto quatro prêmios ficam restritos às pequenas tiras ao redor.

Leve para a prova: Em alvos de regiões sobrepostas, identifique cada região pela quantidade de conjuntos que a contêm.

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