ENEM 2014 · Questão 139

Matemática e suas Tecnologias · Relacione grandezas

Dificuldade TRI: b = 2,38 (média)

Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em $\frac{1}{8}$ , preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.

A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é

A $\frac{1}{8}$
B $\frac{7}{8}$
C $\frac{8}{7}$
D $\frac{8}{9}$
E $\frac{9}{8}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) $\frac{8}{9}$

A ideia: A espessura não muda, o material é o mesmo e o custo precisa permanecer igual. Portanto, a área da face da porta deve continuar a mesma.

Resolução. Chame a altura antiga de $h$ e a largura antiga de $w$ . A altura cresceu em um oitavo, então a nova altura é $h+\dfrac{h}{8}=\dfrac{9h}{8}$ . Seja $w_n$ a nova largura. Para manter a quantidade de material, igualamos os volumes; como a espessura é constante, basta igualar as áreas: $h\cdot w=\dfrac{9h}{8}\cdot w_n$ . Cancelando $h$ , resulta $w_n=\dfrac{8}{9}w$ . Logo, a razão pedida, nova largura sobre largura antiga, é $\dfrac{8}{9}$ .

Visualize: As duas portas conservam a área; a largura diminui na razão inversa do aumento da altura.

Construção auxiliar de enem-2014-q139

Onde a galera erra: A alternativa E, $9/8$ , repete o fator de aumento da altura na largura, aumentando o material gasto.

Leve para a prova: Em área ou volume constante, o aumento de uma dimensão é compensado pelo fator inverso na outra.

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