ENEM 2014 · Questão 145

Matemática e suas Tecnologias · Dado o Gráfico, determine a Função

Dificuldade TRI: b = 1,96 (média)

Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial $f$ , de grau menor que 3, para alterar as notas $x$ da prova para notas $y=f(x)$ , da seguinte maneira:

• A nota zero permanece zero.

• A nota 10 permanece 10.

• A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função $y=f(x)$ a ser utilizada pelo professor é

A $y=-\frac{1}{25}x^2+\frac{7}{5}x$
B $y=-\frac{1}{10}x^2+2x$
C $y=\frac{1}{24}x^2+\frac{7}{12}x$
D $y=\frac{4}{5}x+2$
E $y=x$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $y=-\dfrac1{25}x^2+\dfrac75x$ .

A ideia: as três condições determinam um polinômio de grau no máximo dois.

Resolução. Escreva $f(x)=ax^2+bx+c$ . Como $f(0)=0$ , temos $c=0$ . As outras condições dão $100a+10b=10$ e $25a+5b=6$ .

Dividindo as equações por 10 e por 5, respectivamente, ficam $10a+b=1$ e $5a+b=1{,}2$ . Subtraindo, $5a=-0{,}2$ , portanto $a=-0{,}04=-\dfrac1{25}$ . Em seguida, $b=1{,}4=\dfrac75$ .

A fórmula A preserva zero e dez e transforma cinco em seis, como solicitado.

Onde a galera erra: E preserva os extremos, mas não muda a nota cinco. D altera até a nota zero, que passaria a valer dois.

Leve para a prova: condições sobre valores de uma função viram equações para seus coeficientes; quando há alternativas, testar pontos também pode ser mais rápido.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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