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ENEM 2014 · Questão 146

Matemática e suas Tecnologias · Dividir sem sobra? MDC (ou MMC) nas alternativas

Dificuldade TRI: b = 3,77 (difícil)

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número NN é dado pela expressão 2x⋅5y⋅7z2^x \cdot 5^y \cdot 7^z, na qual xx, yy e zz são números inteiros não negativos. Sabe-se que NN é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de NN, diferentes de NN, é

  1. Ax⋅y⋅zx \cdot y \cdot z
  2. B(x+1)⋅(y+1)(x+1)\cdot(y+1)
  3. Cx⋅y⋅z−1x\cdot y\cdot z-1
  4. D(x+1)⋅(y+1)⋅z(x+1)\cdot(y+1)\cdot z
  5. E(x+1)⋅(y+1)⋅(z+1)−1(x+1)\cdot(y+1)\cdot(z+1)-1
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) (x+1)⋅(y+1)⋅(z+1)−1(x+1)\cdot(y+1)\cdot(z+1)-1

A ideia: Na fatoração, cada divisor escolhe quantas vezes utilizar cada primo. O total inclui o próprio número, que deve ser excluído.

Resolução. Como N=2x⋅5y⋅7zN=2^x\cdot5^y\cdot7^z é múltiplo de dez, temos x≥1x\ge1 e y≥1y\ge1. Como não é múltiplo de 7, necessariamente z=0z=0. Para construir um divisor, há x+1x+1 escolhas para o expoente de 2 (de 0 até xx), y+1y+1 para o de 5 e z+1=1z+1=1 para o de 7. O total de divisores positivos é (x+1)(y+1)(z+1)(x+1)(y+1)(z+1). Como a pergunta exclui o próprio N, subtraímos 1: (x+1)(y+1)(z+1)−1(x+1)(y+1)(z+1)-1.

Onde a galera erra: A alternativa B dá o número total de divisores quando z=0z=0, mas não retira o próprio NN.

Leve para a prova: Na fatoração em primos, o número de divisores é o produto dos expoentes aumentados de 1; ajuste exclusões depois.

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