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ENEM 2014 · Questão 148

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 3,3 (difícil)

A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Figura da questão

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.

A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

  1. Af(x)=−2−x2f(x)=-\sqrt{2-x^2}
  2. Bf(x)=2−x2f(x)=\sqrt{2-x^2}
  3. Cf(x)=x2−2f(x)=x^2-2
  4. Df(x)=−4−x2f(x)=-\sqrt{4-x^2}
  5. Ef(x)=4−x2f(x)=\sqrt{4-x^2}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) f(x)=−4−x2f(x)=-\sqrt{4-x^2}.

A ideia: o balanço percorre parte de uma circunferência de raio igual à corda. Escolha a metade de baixo, porque a criança fica abaixo do ponto de suspensão.

Resolução. Na figura, o topo do suporte é a origem dos eixos e o comprimento da corda permanece 2 metros. A distância do assento ao topo é constante:

x2+y2=22=4x^2+y^2=2^2=4.

Isolando a coordenada vertical, obtemos y2=4−x2y^2=4-x^2, isto é, y=4−x2y=\sqrt{4-x^2} ou y=−4−x2y=-\sqrt{4-x^2}.

O eixo vertical positivo aponta para cima, mas o assento percorre somente o arco abaixo da origem. Logo, sua coordenada vertical é negativa: f(x)=−4−x2f(x)=-\sqrt{4-x^2}.

Como a corda não chega à horizontal, usamos apenas a parte do arco com altura negativa.

Visualize: Arco inferior da circunferência de raio 2 m, abaixo do ponto de suspensão; a posição da corda é ilustrativa e a amplitude não foi fornecida.

Construção auxiliar de enem-2014-q148

Onde a galera erra: marcar E, a semicircunferência de cima, ou A, que confunde o raio 2 com seu quadrado.

Leve para a prova: distância fixa a um centro sugere circunferência; o sinal da raiz determina a metade do gráfico.

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