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ENEM 2014 · PPL · Questão 166

Matemática e suas Tecnologias · Relacionando volumes de diferentes sólidos

Dificuldade TRI: b = 2,13 (média)

Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.

Figura da questão
Figura da questão

O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.

Dados:

O volume de uma esfera de raio rr é 43⋅π⋅r3\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3;

O volume do cilindro de altura hh e área da base SS é S⋅hS\cdot h;

O volume do cone de altura hh e área da base SS é 13⋅S⋅h\frac{1}{3}\cdot S\cdot h;

Por simplicidade, aproxime π\pi para 3.

A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é

  1. A45.
  2. B48.
  3. C72.
  4. D90.
  5. E99.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: a madeira descartada é o volume do cilindro original menos o volume do pião, formado por uma semiesfera e um cone.

Resolução. Na Figura 1, o cilindro tem diâmetro 6 cm e altura 7 cm, logo seu raio é 3 cm. Na Figura 2, o cone tem altura 4 cm.

A semiesfera de raio 3 cm ocupa os 3 cm restantes de altura, aproveitando também toda a largura disponível.

Com π=3\pi=3, o cilindro tem volume 3⋅32⋅7=1893\cdot3^2\cdot7=189 cm³.

A semiesfera ocupa 12⋅43⋅3⋅33=54\dfrac12\cdot\dfrac43\cdot3\cdot3^3=54 cm³.

O cone ocupa 13⋅3⋅32⋅4=36\dfrac13\cdot3\cdot3^2\cdot4=36 cm³.

A sobra é 189−54−36=99189-54-36=99 cm³.

Visualize: Compare o cilindro inicial com o pião formado por uma semiesfera de raio 3 cm sobre um cone de altura 4 cm. A madeira descartada é a parte do cilindro que fica fora dessas duas peças.

Construção auxiliar de enem-2014ppl-q166

Onde a galera erra: marcar D, 90, que corresponde à madeira do pião, não à madeira descartada.

Leve para a prova: em problemas de recorte, calcule separadamente o volume inicial, o volume aproveitado e a diferença entre eles.

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