ENEM 2015 · Questão 147

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 2,82 (difícil)

Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

Quesitos	1. Fantasia e Alegoria		2. Evolução e Conjunto		3. Enredo e Harmonia		4. Bateria		Total
Quesitos	A	B	A	B	A	B	A	B	Total
Escola I	6	7	8	8	9	9	8		55
Escola II	9	8	10	9	10	10	10		66
Escola III	8	8	7	8	6	7	6		50
Escola IV	9	10	10	10	9	10	10		68
Escola V	8	7	9	8	6	8	8		54

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?

A21
B90
C750
D1 250
E3 125

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: só duas escolas podem disputar a vitória. Compare suas pontuações e depois conte as notas dos outros jurados, que não interferem no resultado.

Resolução. Denote por $x$ a nota final da escola II e por $y$ a da escola IV. Os totais serão $66+x$ e $68+y$ . Para a escola II vencer, precisa de $66+x\ge68+y$ , ou seja, $x\ge y+2$ .

A igualdade também favorece a escola II: no desempate por Enredo e Harmonia, ela tem $10+10=20$ , contra $9+10=19$ da IV.

Com notas de 6 a 10, os pares possíveis são: para $y=6$ , três valores de $x$ ; para $y=7$ , dois; para $y=8$ , um. Total de seis pares.

As outras três escolas podem receber qualquer uma das cinco notas: $5^3=125$ . Assim, $6\cdot125=750$ configurações.

Visualize: Escola II: 66+x ≥ 68+y. Nota y (IV), Notas x (II), Pares. 6 pares: 3 empates e 3 vitórias estritas

Construção auxiliar de enem-2015-q147

Onde a galera erra: esquecer o desempate e excluir os três pares $(x,y)=(8,6),(9,7),(10,8)$ , que deixam as duas escolas com pontuação igual.

Leve para a prova: em contagens condicionadas por uma classificação, determine primeiro as desigualdades decisivas e só depois multiplique pelas escolhas livres.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago