A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
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ENEM 2015 · Questão 152

Matemática e suas Tecnologias · Dada uma situação-problema, determine a função exponencial

Dificuldade TRI: b = 1,82 (média)

O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere PP a quantidade anual de produtos fabricados no ano tt de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas PP em função de tt, para t≥1t \geq 1?

  1. AP(t)=0,5⋅t−1+8 000P(t) = 0,5 \cdot t^{-1} + 8\ 000
  2. BP(t)=50⋅t−1+8 000P(t) = 50 \cdot t^{-1} + 8\ 000
  3. CP(t)=4 000⋅t−1+8 000P(t) = 4\ 000 \cdot t^{-1} + 8\ 000
  4. DP(t)=8 000⋅(0,5)t−1P(t) = 8\ 000 \cdot (0,5)^{t-1}
  5. EP(t)=8 000⋅(1,5)t−1P(t) = 8\ 000 \cdot (1,5)^{t-1}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) P(t)=8 000⋅(1,5)t−1P(t)=8\,000\cdot(1{,}5)^{t-1}.

A ideia: aumentar 50% a cada ano é multiplicar a produção por 1,5. O primeiro ano já tem 8 000 unidades.

Resolução. A produção inicial é 8 000. Um acréscimo de 50% significa manter 100% e acrescentar mais 50%:

100%+50%=150%=1,5100\%+50\%=150\%=1{,}5.

No segundo ano, a indústria produz 8 000⋅1,5=12 0008\,000\cdot1{,}5=12\,000 unidades. No terceiro, multiplica por 1,5 novamente:

8 000⋅1,52=18 0008\,000\cdot1{,}5^2=18\,000.

Assim, a produção no ano tt é dada pelo valor inicial multiplicado por 1,51{,}5 tantas vezes quantos anos se passaram desde o primeiro: t−1t-1.

Teste a expressão com t=1t=1: o expoente vira zero e a produção continua 8 000, como pede o enunciado.

Onde a galera erra: marcar D, que usa 0,50{,}5 como fator. Esse fator representa uma queda pela metade, não um aumento de 50%.

Leve para a prova: crescimento percentual fixo gera uma potência com base maior que 1; redução percentual fixa gera base entre 0 e 1.

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