ENEM 2015 · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 4,32 (difícil)

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação $y = \log(x)$ , conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo $x$ sempre divida ao meio a altura $h$ do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo $x$ . Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura $h$ do vidro em função da medida $n$ de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

A $\log\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)-\log\left(\frac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\right)$
B $\log\left(1+\frac{n}{2}\right)-\log\left(1-\frac{n}{2}\right)$
C $\log\left(1+\frac{n}{2}\right)+\log\left(1-\frac{n}{2}\right)$
D $\log\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)$
E $2\log\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $2\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)$ .

A ideia: o eixo horizontal divide a altura ao meio. Então as duas extremidades verticais da curva têm logaritmos opostos.

Resolução. Na figura, a base mede $n$ . Chame de $x_1$ a posição da borda esquerda e de $x_2$ a da direita. Como a curva é $y=\log(x)$ , seus pontos extremos têm alturas $-\dfrac{h}{2}$ e $\dfrac{h}{2}$ .

Assim, $\log(x_1)=-\dfrac{h}{2}$ e $\log(x_2)=\dfrac{h}{2}$ . Somando, resulta $\log(x_1x_2)=0$ , ou seja, $x_1x_2=1$ .

Como a largura é $n$ , temos $x_2-x_1=n$ . Substituindo $x_1=\dfrac{1}{x_2}$ :

$x_2-\dfrac{1}{x_2}=n\Rightarrow x_2^2-nx_2-1=0$ .

A raiz positiva é $x_2=\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$ . Por fim, $\dfrac{h}{2}=\log(x_2)$ , logo $h=2\log(x_2)$ .

Visualize:

Construção ilustrativa com x₁ = 1/4 e x₂ = 4. As alturas são logaritmos opostos, x₁x₂ = 1 e a largura é x₂ − x₁.

Onde a galera erra: marcar D e esquecer o fator 2. A altura da parte superior é apenas metade de $h$ .

Leve para a prova: quando o desenho é dividido igualmente por um eixo, use as coordenadas simétricas antes de montar as equações.

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