ENEM 2015 · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Círculos Tangentes

Dificuldade TRI: b = 1,81 (média)

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto $O$ , como mostra a figura.

O ponto $O$ indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

A $8\pi$ .
B $12\pi$ .
C $16\pi$ .
D $32\pi$ .
E $64\pi$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $8\pi$ .

A ideia: compare a área do círculo novo com a soma das áreas dos dois círculos antigos. A tangência permite descobrir o novo raio sem fazer contas complicadas.

Resolução. A figura mostra duas coberturas circulares de raio 2 km, lado a lado, tangentes no ponto $O$ . A nova antena fica justamente em $O$ , o centro da cobertura maior. Da posição $O$ até a extremidade mais afastada de qualquer cobertura antiga há 4 km: são dois raios de 2 km.

Portanto, a nova área é $\pi\cdot 4^2=16\pi$ km². As duas áreas antigas não se sobrepõem em nenhuma região de área positiva, pois apenas se tocam em um ponto. Juntas, medem $2\cdot\pi\cdot 2^2=8\pi$ km².

A ampliação corresponde à diferença: $16\pi-8\pi=8\pi$ km².

Visualize: Coberturas antigas, de raio 2 km e centros a ±2 de O, tangentes entre si e internamente ao novo círculo de raio 4 km; a região destacada é o aumento de 8π km².

Construção auxiliar de enem-2015-q155

Onde a galera erra: escolher C ( $16\pi$ ), que representa a cobertura total da nova antena, não o aumento em relação à situação anterior.

Leve para a prova: quando o enunciado pede quanto aumentou, calcule valor novo menos valor antigo; duplicar o raio quadruplica a área do círculo.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago