ENEM 2015 · Questão 161

Matemática e suas Tecnologias · Figura com bordas

Dificuldade TRI: b = 4,11 (difícil)

Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de $(d - 1)$ milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção.

A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.

Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.

A medida de $d$ , em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é

A2
B1
C $\frac{11}{3}$
D $\frac{4}{3}$
E $\frac{2}{3}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: os espaços vazios, não as fitas, deixam a luz passar. Se 75% da malha fica coberta, os vazios devem ocupar exatamente 25% da área.

Resolução. Na figura, cada padrão que se repete ocupa um quadrado de lado $d$ milímetros. As fitas horizontal e vertical têm largura 1 mm. Por isso, o vão quadrado que sobra tem lado $d-1$ .

A fração aberta é

$\dfrac{(d-1)^2}{d^2}=\dfrac{25}{100}=\dfrac14$ .

Como as medidas são positivas, tiramos a raiz dos dois lados:

$\dfrac{d-1}{d}=\dfrac12$ .

Então $2d-2=d$ , logo $d=2$ milímetros. As dimensões de 5 m por 9 m não mudam essa proporção.

Visualize: Uma célula periódica de 2 por 2 mm: fita horizontal e vertical de largura 1 mm deixam um quadrado aberto de 1 mm²; cobertura 3/4=75%.

Construção auxiliar de enem-2015-q161

Onde a galera erra: escolher B (1) por tomar a largura da fita como o próprio período da malha; nesse caso, não sobraria vão algum.

Leve para a prova: em malhas periódicas, calcule a porcentagem usando uma célula representativa; a razão se repete no vidro todo.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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