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ENEM 2015 · Questão 165

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 2,4 (média)

O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio RR deve ser um número natural.

Figura da questão

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para π\pi.

O maior valor possível para RR, em metros, deverá ser

  1. A16.
  2. B28.
  3. C29.
  4. D31.
  5. E49.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: três setores de 60°60° juntos correspondem a metade de um círculo. A condição é uma desigualdade estrita, e o raio precisa ser natural.

Resolução. A piscina já existente mede 50⋅24=1 20050\cdot24=1\,200 metros quadrados. Na figura, cada setor ocupa 60°60° de um círculo, isto é, um sexto. Os três setores somam três sextos da área circular.

Com π=3\pi=3:

A=3⋅60360⋅3R2=3R22A=3\cdot\dfrac{60}{360}\cdot3R^2=\dfrac{3R^2}{2}.

A área nova deve ser menor que 1 2001\,200:

3R22<1 200\dfrac{3R^2}{2}<1\,200, ou seja, R2<800R^2<800.

Como 282=78428^2=784 e 292=84129^2=841, o maior raio inteiro permitido é 28 m.

Onde a galera erra: escolher C (29) por arredondar 800\sqrt{800} para cima. A área correspondente ultrapassaria a da piscina antiga.

Leve para a prova: se a medida precisa ser inteira e a desigualdade é estrita, teste os inteiros vizinhos do limite.

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