ENEM 2015 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,44 (média)

A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores $a$ e $b$ são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.

Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por $V=4ab^2$ .

O volume dessa bola, em função apenas de $b$ , é dado por

A $8b^3$
B $6b^3$
C $5b^3$
D $4b^3$
E $2b^3$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $6b^3$ .

A ideia: o desenho mostra os semieixos $a$ e $b$ , mas a diferença informada é entre os comprimentos completos, $2a$ e $2b$ .

Resolução. O comprimento horizontal da elipse é $2a$ ; o vertical é $2b$ . O primeiro excede o segundo em metade do comprimento vertical:

$2a-2b=\dfrac{2b}{2}=b$ .

Logo, $2a=3b$ , ou $a=\dfrac{3b}{2}$ . A fórmula aproximada do volume foi fornecida no próprio enunciado: $V=4ab^2$ .

Substituindo a expressão de $a$ :

$V=4\cdot\dfrac{3b}{2}\cdot b^2=6b^3$ .

Não é necessário conhecer o volume exato de um elipsoide nem inserir o número $\pi$ ; a questão pede apenas a substituição algébrica na fórmula dada.

Visualize: Elipse com razão exata dos semieixos a/b=3/2; os comprimentos totais são 2a e 2b.

Construção auxiliar de enem-2015-q175

Onde a galera erra: marcar $4b^3$ (D) por supor que os dois semieixos são iguais, como numa esfera.

Leve para a prova: quando uma figura apresenta semicomprimentos, traduza a relação verbal usando primeiro as medidas completas.

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