ENEM 2015 · Questão 179

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Dificuldade TRI: b = 3,81 (difícil)

Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;

Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que $P(I)$ , $P(II)$ e $P(III)$ sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se

A $P(I)\lt P(III)\lt P(II)$
B $P(II)\lt P(I)\lt P(III)$
C $P(I)\lt P(II)=P(III)$
D $P(I)=P(II)\lt P(III)$
E $P(I)=P(II)=P(III)$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $P(I)=P(II)=P(III)$

A ideia: Em qualquer modo, todos os 200 atletas têm a mesma chance de acabar selecionados; só muda a maneira de organizar o sorteio.

Resolução. No modo I, são sorteados 3 entre os 200 atletas. A chance de o atleta denunciado estar entre eles é $\dfrac3{200}$ .

No modo II, a equipe dele precisa ser sorteada ( $1/20$ ) e, dentro da equipe de 10 atletas, ele precisa estar entre os três ( $3/10$ ):

$P(II)=\dfrac1{20}\cdot\dfrac3{10}=\dfrac3{200}$ .

No modo III, a equipe dele precisa estar entre as 3 sorteadas ( $3/20$ ) e ele deve ser escolhido entre os 10 daquela equipe ( $1/10$ ):

$P(III)=\dfrac3{20}\cdot\dfrac1{10}=\dfrac3{200}$ .

As três chances são iguais.

Onde a galera erra: A alternativa B sugere que escolher mais equipes aumentaria a chance do atleta. Falta considerar que, em cada equipe escolhida, menos atletas são sorteados.

Leve para a prova: Uma seleção em etapas pode ser equivalente a um sorteio direto: multiplique as probabilidades condicionais.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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