ENEM 2015 · Questão 180

Matemática e suas Tecnologias · Valor Máximo ou Mínimo de uma Função Trigonométrica

Dificuldade TRI: b = 5,35 (difícil)

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço $P$ , em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função $P(x)=8+5\cos\left(\frac{\pi x-\pi}{6}\right)$ , onde $x$ representa o mês do ano, sendo $x=1$ associado ao mês de janeiro, $x=2$ ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até $x=12$ associado ao mês de dezembro.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é

Ajaneiro.
Babril.
Cjunho.
Djulho.
Eoutubro.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: maior produção significa produto mais abundante e, portanto, menor preço. Você precisa procurar o mínimo da função cosseno, não o máximo.

Resolução. O preço é $P(x)=8+5\cos(\dfrac{\pi x-\pi}{6})$ . Como o senoide cosseno varia de $-1$ até 1, o menor preço acontece quando o cosseno vale $-1$ .

Nesse ponto, o preço é $P=8-5=3$ reais por quilograma.

Para o cosseno valer $-1$ , o argumento pode ser $\pi$ . Então,

$\dfrac{\pi x-\pi}{6}=\pi$ .

Multiplicando por 6 e dividindo por $\pi$ , fica $x-1=6$ , ou seja, $x=7$ .

O sétimo mês é julho. Esse é o mês de maior oferta previsto pelo modelo.

Onde a galera erra: marcar A, janeiro, porque nesse mês o cosseno vale 1 e o preço é máximo, não mínimo. Produto caro costuma sinalizar escassez na lógica do enunciado.

Leve para a prova: em problemas com preço sazonal, conecte o extremo matemático à interpretação econômica: safra máxima costuma significar preço mínimo.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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