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ENEM 2015 · PPL · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · Equação ou inequação no plano cartesiano: qual figura é essa?

Dificuldade TRI: b = 2,57 (difícil)

Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Figura da questão

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2+y2−2x−4y−31≤0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 31 \leq 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas

  1. AA e C.
  2. BB e C.
  3. CB e D.
  4. DA, B e C.
  5. EB, C e D.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: Complete quadrados para reconhecer o disco de cobertura e teste as coordenadas do mapa.

Resolução. A desigualdade equivale a (x−1)2+(y−2)2≤36(x-1)^2+(y-2)^2\leq36: centro (1,2)(1,2) e raio 66. Lendo o mapa: A=(5,4)A=(5,4), B=(−3,1)B=(-3,1), C=(4,2)C=(4,2) e D=(−4,−3)D=(-4,-3). As distâncias ao centro, ao quadrado, são 2020, 1717, 99 e 5050, respectivamente. Somente AA, BB e CC têm distância ao quadrado menor ou igual a 3636.

Visualize: Marque o centro (1,2)(1,2) e desenhe o círculo de raio 6 no plano cartesiano. Os pontos A, B e C caem no disco, enquanto D está fora dele.

Construção auxiliar de enem-2015ppl-q154

Onde a galera erra: Testar a distância em relação à origem, e não ao centro (1,2)(1,2).

Leve para a prova: Complete quadrados antes de verificar se pontos pertencem a uma circunferência.

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