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ENEM 2016 · Questão 147

Matemática e suas Tecnologias · Escolher grupos: combinação, arranjo ou permutação?

Dificuldade TRI: b = 2,42 (média)

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

  1. A10!2!×8!−4!2!×2!\frac{10!}{2!\times 8!}-\frac{4!}{2!\times 2!}
  2. B10!8!−4!2!\frac{10!}{8!}-\frac{4!}{2!}
  3. C10!2!×8!−2\frac{10!}{2!\times 8!}-2
  4. D6!4!+4×4\frac{6!}{4!}+4\times 4
  5. E6!4!+6×4\frac{6!}{4!}+6\times 4
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) 10!2!×8!−4!2!×2!\frac{10!}{2!\times 8!}-\frac{4!}{2!\times 2!}

A ideia: a partida usa uma dupla sem posições diferentes. Conte todas as duplas possíveis e retire apenas as proibidas.

Resolução. Entre 10 tenistas, escolher dois sem considerar a ordem dá 10⋅92=45\dfrac{10\cdot9}{2}=45 duplas. Dessas, não servem as formadas por dois canhotos. Como há quatro canhotos, as duplas proibidas são 4⋅32=6\dfrac{4\cdot3}{2}=6.

Portanto, ficam 45−6=3945-6=39 escolhas. Na expressão da alternativa A, o primeiro termo representa a escolha de dois entre dez e o segundo, a escolha de dois entre quatro. Os fatoriais se simplificam exatamente para as duas contas feitas.

Onde a galera erra: escolher B e contar cada partida duas vezes, como se trocar o jogador da esquerda pelo da direita produzisse uma nova dupla.

Leve para a prova: se a ordem dos escolhidos não muda o grupo, use combinação. Com uma restrição simples, frequentemente é mais rápido fazer total menos casos proibidos.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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