ENEM 2016 · Questão 167

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,64 (difícil)

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

$y = 9 - x^2$ , sendo x e y medidos em metros.

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a $\frac{2}{3}$ da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: descubra a largura do túnel pelos zeros da parábola e use a proporção de áreas que o enunciado já oferece.

Resolução. A curva é $y=9-x^2$ . Sua altura máxima ocorre em $x=0$ , quando $y=9$ metros.

No chão, $y=0$ :

$9-x^2=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=-3$ ou $x=3$ .

Portanto, a base do túnel vai de $-3$ a 3, medindo 6 metros. O retângulo que envolve a abertura tem área $6\cdot9=54$ metros quadrados.

O problema informa que a área sob o arco é dois terços dessa área:

$\dfrac{2}{3}\cdot54=36$ metros quadrados.

Não precisamos calcular uma integral nem aproximar a parábola por triângulos: a razão necessária foi dada.

Visualize: Parábola y=9−x² entre raízes −3 e 3 e retângulo envolvente de 6 por 9 m; a área parabólica dada é 2/3 da área retangular.

Construção auxiliar de enem-2016-q167

Onde a galera erra: marcar 54 (E), usando toda a área do retângulo, sem aplicar o fator $\dfrac23$ .

Leve para a prova: nas parábolas voltadas para baixo, as raízes indicam a largura da abertura e o vértice fornece sua altura.

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