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ENEM 2016 · Questão 168

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 2,6 (difícil)

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

  1. A102⋅26210^2 \cdot 26^2
  2. B102⋅52210^2 \cdot 52^2
  3. C102⋅522⋅4!2!10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2!}
  4. D102⋅262⋅4!2!⋅2!10^2 \cdot 26^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}
  5. E102⋅522⋅4!2!⋅2!10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 102⋅522⋅4!2!⋅2!10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}

A ideia: escolher os caracteres não basta: também é preciso decidir em quais posições ficam as duas letras e os dois algarismos.

Resolução. Como maiúsculas e minúsculas são diferentes, há 26⋅2=5226\cdot2=52 letras possíveis para cada posição de letra. Cada algarismo tem 10 possibilidades. O enunciado não exige caracteres distintos, então são 522⋅10252^2\cdot10^2 escolhas depois de fixar as posições.

Para escolher onde entram as duas letras entre os quatro lugares, há 4!2! 2!=6\dfrac{4!}{2!\,2!}=6 arranjos dos tipos de caracteres: LLNN, LNLN, LNNL, NLLN, NLNL e NNLL.

O total é, portanto, 102⋅522⋅4!2! 2!10^2\cdot52^2\cdot\dfrac{4!}{2!\,2!}, expressão da alternativa E.

Onde a galera erra: escolher B, que considera apenas um padrão de posições, ou D, que esquece que uma letra maiúscula difere da minúscula.

Leve para a prova: em senhas com quantidades fixas de categorias, multiplique as escolhas dos símbolos pelo número de posições possíveis dessas categorias.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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