ENEM 2016 · Questão 169

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 10,12 (difícil)

A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto $P$ , cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.

No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.

O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão $\frac{A}{A+B}$ , em que $A$ e $B$ são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado).

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

A40%
B20%
C60%
D30%
E70%

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: o índice é a área entre a diagonal de igualdade e a linha salarial acumulada dividida pela área total sob a diagonal.

Resolução. Os eixos vão de 0 a 100. A área sob a diagonal é um triângulo de base e altura 100:

$A+B=\dfrac{100\cdot100}{2}=5\,000$ .

Se o índice desejado é $0{,}3$ , a área entre as linhas deve ser $A=0{,}3\cdot5\,000=1\,500$ .

No gráfico, o ponto P tem abscissa 90. Seja $p$ sua ordenada, isto é, o percentual da massa salarial acumulada recebido pelos 90% de menor salário. A região entre a diagonal e a linha quebrada forma dois triângulos cuja área conjunta é $A=50(90-p)$ .

Então $50(90-p)=1\,500$ , de onde $90-p=30$ e $p=60$ .

Os 10% mais bem pagos recebem os $100-60=40\%$ restantes da massa salarial.

Visualize: Gráfico acumulado ajustado à meta: P=(90,60), área A=1500 e área total sob a diagonal 5000; os 10% superiores recebem os 40% restantes.

Construção auxiliar de enem-2016-q169

Onde a galera erra: marcar 30% (D), confundindo o valor do Índice de Gini com a parcela salarial do grupo mais rico.

Leve para a prova: em gráficos de concentração, diferencie a área entre curvas da porcentagem lida no eixo vertical.

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