ENEM 2016 · Questão 172

Matemática e suas Tecnologias · Inscrição/Circunscrição

Dificuldade TRI: b = 2,8 (difícil)

Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).

O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ , respectivamente.

Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

AI
BII
CIII
DIV
EV

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: o diâmetro do furo precisa ser grande demais para que a peça circular passe pelos outros encaixes, mas pequeno demais para que as peças antigas passem pelo furo circular.

Resolução. Na figura, as perfurações antigas são quadrada de lado 4 cm, retangular de 3 cm por 4 cm e triangular equilátera de lado 6,8 cm.

Para um círculo caber no quadrado, seu diâmetro pode medir no máximo 4 cm; no retângulo, no máximo 3 cm. No triângulo equilátero, o diâmetro do maior círculo inscrito é $\dfrac{6{,}8}{\sqrt{3}}\approx4$ cm. Portanto, para a peça circular não caber nos furos antigos, escolha diâmetro maior que 4 cm.

Agora, para o quadrado inteiro atravessar um furo redondo, o diâmetro teria de alcançar sua diagonal: $4\sqrt{2}\approx5{,}6$ cm. O retângulo precisa de diagonal 5 cm. O triângulo exige diâmetro circunscrito $2\cdot6{,}8/1{,}7=8$ cm. Assim, um diâmetro menor que 5 cm impede a entrada das três peças antigas.

Entre as ferramentas, só a II, de 4,7 cm, está no intervalo adequado.

Visualize: Diâmetros-limite nos dois sentidos. Peça, Círculo dentro, Peça no círculo. Escolha: 4 < diâmetro < 5 cm → II, 4,7 cm

Construção auxiliar de enem-2016-q172

Onde a galera erra: marcar III, de 5,6 cm, porque parece um diâmetro conveniente; ele permite a passagem do retângulo de diagonal 5 cm.

Leve para a prova: teste os dois sentidos de encaixe: círculo dentro do polígono usa círculo inscrito; polígono dentro do círculo usa circunferência circunscrita.

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