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ENEM 2016 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Dado um poliedro, analise o nº de faces, arestas e/ou vértices

Dificuldade TRI: b = 4,09 (difícil)

É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada.

Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?

  1. AQuadrados, apenas.
  2. BTriângulos e quadrados, apenas.
  3. CTriângulos, quadrados e trapézios, apenas.
  4. DTriângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.
  5. ETriângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: Uma seção plana de pirâmide não precisa ser paralela à base. Ao inclinar o plano, ele pode cruzar diferentes combinações de faces.

Resolução. Um plano que atravessa o ápice e a base pode formar um triângulo. Um corte paralelo à base produz um quadrado. Planos inclinados que atravessam a pirâmide podem gerar trapézios ou quadriláteros irregulares. Também é possível obter um pentágono: basta posicionar o plano de modo que ele atravesse a base e as quatro faces laterais da pirâmide sem passar pelo ápice. Como a pirâmide quadrangular tem cinco faces, um plano pode ter no máximo cinco segmentos no contorno da seção. Portanto, os cinco tipos listados podem ocorrer.

Onde a galera erra: A alternativa D esquece o pentágono. O fato de a base ser quadrada não limita todas as seções a no máximo quatro lados.

Leve para a prova: Para investigar secções planas, conte quantas faces diferentes o plano pode cortar e teste inclinações distintas.

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