Provas resolvidas › ENEM 2016 · 2ª aplicação
ENEM 2016 · 2ª aplicação · Questão 142
Matemática e suas Tecnologias · Dado um poliedro, analise o nº de faces, arestas e/ou vértices
Dificuldade TRI: b = 1,17 (fácil)Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2.
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a
- A9, 20 e 13.
- B9, 24 e 13.
- C7, 15 e 12.
- D10, 16 e 5.
- E11, 16 e 5.
Ver a resposta e a resolução
Resposta: A
A ideia: Cortar um vértice de uma pirâmide acrescenta uma face e substitui esse vértice por pontos nas arestas que chegam a ele.
Resolução. A pirâmide inicial tem 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. Cada um dos quatro vértices P, Q, R e S da base tem grau 3, isto é, encontra três arestas. Ao cortar cada canto, surge uma face triangular nova: ficam 5 + 4 = 9 faces. Cada corte troca um vértice por três novos, aumentando o total em 2. Logo, V = 5 + 4·2 = 13. Pela relação de Euler, V − A + F = 2, então A = 13 + 9 − 2 = 20.
Visualize: Em cada canto P, Q, R ou S, observe três arestas saindo do vértice. O corte remove esse vértice, cria três pontos novos e uma face triangular.
Onde a galera erra: A alternativa B acerta faces e vértices, mas atribui 24 arestas, contrariando a relação de Euler.
Leve para a prova: Em poliedros convexos, use V − A + F = 2 para conferir a contagem.
Vai fazer o ENEM?
O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.
Falar com o Thiago