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Provas resolvidas › ENEM 2016 · 2ª aplicação

ENEM 2016 · 2ª aplicação · Questão 169

Matemática e suas Tecnologias · Círculos Tangentes

Dificuldade TRI: b = 2,04 (média)

A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.

Figura da questão
Figura da questão

Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?

  1. A1
  2. B2105\frac{2\sqrt{10}}{5}
  3. C102\frac{\sqrt{10}}{2}
  4. D2
  5. E10\sqrt{10}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 10\sqrt{10}

A ideia: A distância entre centros das esferas tangentes é a soma dos raios.

Resolução. Como os raios são 55 e 22 cm, CO=7CO=7 cm. Os centros estão a alturas de 55 e 22 cm do chão, logo a diferença vertical é 33 cm. A separação horizontal entre as projeções dos centros é dd: pelo teorema de Pitágoras, d2+32=72d^2+3^2=7^2, então d=40=210d=\sqrt{40}=2\sqrt{10}. Dividindo pelo raio do bolim, d/2=10d/2=\sqrt{10}.

Visualize: Una os centros C e O das esferas. A hipotenusa tem 7 cm, a diferença das alturas dos centros é 3 cm e a separação horizontal é dd; use Pitágoras antes de dividir pelo raio do bolim.

Construção auxiliar de enem-2016p2-q169

Onde a galera erra: Usar 77 cm como distância horizontal ignora que os centros estão em alturas diferentes.

Leve para a prova: Em esferas tangentes sobre o chão, use a soma dos raios como hipotenusa.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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