Provas resolvidas › ENEM 2016 · 2ª aplicação

ENEM 2016 · 2ª aplicação · Questão 170

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,06 (média)

Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.

O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição $n$ , na sequência, foi representada por $A_n$ .

Para $n \geq 2$ , o valor da diferença $A_n-A_{n-1}$ , em centímetro quadrado, é igual a

A $2n-1$
B $2n+1$
C $-2n+1$
D $(n-1)^2$
E $n^2-1$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $2n-1$ .

A ideia: a figura mostra quadrados de lados 1, 2, 3, 4, 5 e 6 cm. Para encontrar a diferença das áreas, subtraia dois quadrados consecutivos.

Resolução. O quadrado na posição $n$ tem lado de $n$ centímetros; portanto, sua área é $A_n=n^2$ centímetros quadrados.

O quadrado anterior tem lado de $n-1$ centímetros e área $A_{n-1}=(n-1)^2$ .

A diferença pedida é

$A_n-A_{n-1}=n^2-(n-1)^2$ .

Desenvolvendo o segundo quadrado, obtemos

$n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$ .

Para conferir diretamente na figura, as áreas dos três primeiros quadrados são 1, 4 e 9; seus aumentos são 3 e 5. A expressão dá 3 para $n=2$ e 5 para $n=3$ .

Visualize: Quadrado de lado n=5 contendo o quadrado anterior de lado 4; a faixa em L acrescenta 2n−1=9 unidades quadradas.

Construção auxiliar de enem-2016p2-q170

Onde a galera erra: marcar E, $n^2-1$ , subtraindo sempre a área do primeiro quadrado em vez da área do anterior.

Leve para a prova: a diferença entre quadrados consecutivos é sempre um número ímpar.

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