Provas resolvidas › ENEM 2016 · 3ª aplicação

ENEM 2016 · 3ª aplicação · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.

A relação entre os raios do canteiro ( $R$ ) e da área central ( $r$ ) deverá ser

A $R=2r$
B $R=r\sqrt{2}$
C $R=\frac{r^2+2r}{2}$
D $R=r^2+2r$
E $R=\frac{3}{2}r$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $R=r\sqrt{2}$

A ideia: A faixa circular deve ter a mesma área que o disco central; subtraia as áreas dos dois círculos.

Resolução. O disco central tem área $\pi r^2$ . A faixa sombreada é uma coroa circular de área $\pi R^2-\pi r^2$ . Igualando as duas, temos $\pi R^2-\pi r^2=\pi r^2$ . Logo, $R^2=2r^2$ e, como os raios são positivos, $R=r\sqrt{2}$ .

Visualize: Coroa circular e disco central com áreas iguais: raio interno r e raio externo r vezes raiz de 2. Círculos desenhados com essa proporção exata.

Construção auxiliar de enem-2016ppl-q154

Onde a galera erra: A opção A ( $R=2r$ ) dobra o raio, mas quadruplica a área do círculo maior; o que deve dobrar é a área, não o raio.

Leve para a prova: Quando uma região circular tem a mesma área que outra, monte a igualdade com os quadrados dos raios.

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