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Provas resolvidas › ENEM 2016 · 3ª aplicação

ENEM 2016 · 3ª aplicação · Questão 166

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m2400\ \text{m}^2. Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.

Figura da questão

Use 32\frac{\sqrt{3}}{2}, 12\frac{1}{2} e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen⁡(60∘)\operatorname{sen}(60^\circ), cos⁡(60∘)\cos(60^\circ) e 3\sqrt{3}.

Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:

Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;

Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área;

Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto;

Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;

Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.

A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)

  1. Apai.
  2. Bmãe.
  3. Cfilho 1.
  4. Dfilho 2.
  5. Ecorretor.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: A área do paralelogramo depende da altura perpendicular, não apenas do comprimento de seus lados.

Resolução. Os dois lotes têm base de 30 m e lado de 15 m. No lote 1, a altura perpendicular é 15sin⁡60∘=153/215\sin60^\circ=15\sqrt3/2 m, de modo que sua área é 30⋅153/2=225330\cdot15\sqrt3/2=225\sqrt3 m². Com a aproximação 3≈1,7\sqrt3\approx1{,}7 indicada na prova, obtemos 225⋅1,7=382,5225\cdot1{,}7=382{,}5 m², abaixo dos 400 m² necessários. O lote 2 é retangular, com área 30⋅15=45030\cdot15=450 m², suficiente para a casa. Logo, apenas o lote 2 atende à exigência, como afirmou o filho 1, alternativa C. Ter os mesmos lados e perímetro não garante a mesma área: a inclinação altera a altura.

Visualize: Paralelogramo de base 30 e lado 15 metros a 60 graus, comparado ao retângulo 30 por 15. A altura perpendicular do primeiro é 15 seno de 60 graus, menor que 15.

Construção auxiliar de enem-2016ppl-q166

Onde a galera erra: A opção D confunde lados iguais com áreas iguais: ao inclinar um paralelogramo, a altura diminui e a área também.

Leve para a prova: Para paralelogramos, calcule sempre base vezes altura perpendicular, mesmo que o lado inclinado seja conhecido.

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